Question

8．抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为$\frac{3}{4}$，则$\frac{|MN|}{|NF|}$=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设$\frac{|MN|}{|NF|}$=λ，则cos∠MNQ=$\frac{1}{λ}$，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．

解答 解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，
设$\frac{|MN|}{|NF|}$=λ，则$\frac{|MN|}{|NQ|}=λ$，∴cos∠MNQ=$\frac{1}{λ}$．∴cos∠MFO=$\frac{1}{λ}$．
∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，
∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=-cos2∠MFO=1-2cos²∠MFO=1-$\frac{2}{{λ}^{2}}$．
∵tan∠PFx=$\frac{3}{4}$，∴cos∠PFx=$\frac{4}{5}$，
∴1-$\frac{2}{{λ}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，解得λ²=10．即$λ=\sqrt{10}$．
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．