Question

14．过M（-2，0）作直线l交曲线x²-y²=1于A，B两点，已知$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出直线l的方程及A，B，P的坐标，双曲线方程联立消去x，进而根据韦达定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，进而联立消去m，即可求得P点的轨迹方程．

解答 解：设直线l：x=my-2，m±1，
并设点A，B，P的坐标分别是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$消去x，得（m²-1）y²-4my+3=0，①
由直线l与双曲线有两个不同的交点，可得△=（-4m）²-12（m²-1）＞0，即4m²+12＞0，恒成立，
由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，及方程①，得y=y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}-1}$，
x=x₁+x₂=（my₁-2）+（my₂-2）=$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{{m}^{2}-1}\\ y=\frac{4m}{{m}^{2}-1}\end{array}\right.$，由于m≠±1（否则，直线l与双曲线有一个公共点），
将上方程组两式相除得，m=$\frac{y}{x}$，代入到方程x=$\frac{4}{{m}^{2}-1}$，
整理，得x²-y²+4x=0．
综上所述，点P的轨迹方程为x²-y²+4x=0．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的交点的轨迹方程问题．常需要把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找解决问题的突破扣．