Question

5．已知点A（a，b），B（x，y）为函数y=x²的图象上两点，且当x＞a时，记|AB|=g（x）；若函数g（x）在定义域（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据两点之间距离公式，求出函数g（x）的解析式，结合函数g（x）在定义域（a，+∞）上单调递增，g′（x）≥0恒成立，可得实数a的取值范围．

解答 解：∵点A（a，b），B（x，y）为函数y=x²的图象上两点，
则b=a²，y=x²，
∴当x＞a时，记|AB|=g（x）=$\sqrt{（x-a）^{2}+（{x}^{2}-{a}^{2}）^{2}}$=（x-a）$\sqrt{1+（x+a）^{2}}$，
若函数g（x）在定义域（a，+∞）上单调递增，
则g′（x）=$\sqrt{1+（x+a）^{2}}$+$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$=$\frac{{1+{（x+a）}^{2}+x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$=$\frac{{2x}^{2}+2ax+1}{\sqrt{1+{（x+a）}^{2}}}$≥0恒成立，
则2x²+2ax+1≥0恒成立，
则△=4a²-8≤0，
解得：a∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
即实数a的取值范围为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故答案为：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，两点间距离公式，导数法判断函数的单调性，难度中档．