Question

10．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；
（2）分类讨论，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间．

解答 解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0；
当x＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0
又∵f（$\frac{1}{2}$）=2-ln2
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（2）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+（2-a）x-1}{{x}^{2}}$
当a=0时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，令f′（x）＜0 得0＜x＜$\frac{1}{2}$；令f′（x）＞0 得x＞$\frac{1}{2}$；
当a＞0时，令f′（x）＜0 得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＞0 得x＞$\frac{1}{2}$，
当a＜-2时，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0 得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$；
当-2＜a＜0时，得-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0 得$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{1}{a}$；
当a=-2时，f′（x）=-$\frac{（2x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
综上所述，当a=0时，f（x）的递减区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），递增区间为（0，$\frac{1}{2}$）；
当a＞0时，f（x）的递增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），递减区间为（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）；
当a＜-2时f（x）的递减区间为（0，-$\frac{1}{a}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞），递增区间为（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）；
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{a}$，+∞），递增区间为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）．

点评 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．