Question

18．在△ABC中，P₀是AB中点，且对于边AB上任一点P，恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，则有（　　）

• A． AB=BC
• B． AC=BC
• C． ∠ABC=90°
• D． ∠BAC=90°

Answer 1

分析 由题意 P₀、P、A、B 四点共线，建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），根据$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，得4x²-4（a+1）x+2a+1≥0 恒成立，由判别式△≤0，得a=0，即得点C在AB的垂直平分线上，从而得出结论．

解答 解：根据题意，P₀、P、A、B 四点共线，
以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，
设AB=2，C（a，b），P（x，0），
则A（-1，0），B（1，0），P₀（$\frac{1}{2}$，0）；
∵$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，
∴（1-x）（a-x）≥$\frac{1}{2}$（a-$\frac{1}{2}$），
即 4x²-4（a+1）x+2a+1≥0 恒成立，
∴判别式△=16（a+1）²-16（2a+1）≤0；
解得a²≤0，
∴a=0，即点C在AB的垂直平分线上，
∴AC=BC．
故选：B．

点评 本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力，属中档题．