Question

7．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元．
（1）把总造价y（元）表示为底面一边长x（米）的函数．
（2）判断此函数在区间（2，+∞）上的单调性，并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）根据条件便可得到池底面积为4平方米，底面的另一边长$\frac{4}{x}$，从而便可得到总造价y=$400（x+\frac{4}{x}）+1200$，x＞0；
（2）对上面得到的函数求导，并能够判断x＞2时导数的符号，从而得出该函数的单调性．

解答 解：（1）根据条件，底面另一边长为$\frac{4}{x}$；
∴长方体的底面积为4，侧面积为4x$+\frac{16}{x}$，由题意得：
y=400（$x+\frac{4}{x}$）+1200，x＞0；
（2）$y′=400•\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$；
∵x＞2；
∴x²-4＞0；
∴y′＞0；
∴此函数在（2，+∞）上单调递增．

点评 考查长方体的体积公式，根据实际问题建立函数关系式的方法，以及根据导数符号判断函数单调性的方法．