Question

9．已知f（x）=2+log₂x，x∈[$\frac{1}{4}$，4]，求g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域．

Answer 1

分析 化简g（x）=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₂x）²+2+log₂x²=（log₂x+3）²-3，从而求函数的值域．

解答 解：g（x）=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₂x）²+2+log₂x²
=（log₂x）²+4log₂x+4+2+2log₂x
=（log₂x）²+6log₂x+6
=（log₂x+3）²-3，
∵x∈[$\frac{1}{4}$，4]，
∴log₂x∈[-2，2]，
∴log₂x+3∈[1，5]，
∴（log₂x+3）²-3∈[-2，22]；
故g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域为[-2，22]．

点评 本题考查了对数函数的化简及二次函数的应用，属于基础题．