Question

14．已知函数f（x）=2^x，g（x）=（2-lnx）•lnx+b（b∈R），记h（x）=f（x）-$\frac{1}{f（x）}$
（1）若h（x₀）=$\frac{8}{3}$，求实数x₀的值
（2）若存在x₁，x₂∈[1，+∞），使得h（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围
（3）若g（x）＜0，对于x∈（0，+∞）恒成立，试问是否存在实数x，使得h[g（x）]=-b成立，若存在，求出实数x的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由h（x）和f（x）的解析式，解方程可得；
（2）分别求得h（x）的单调性，可得最小值，g（x）的单调区间，可得最大值，由最大值大于等于最小值，可得b的范围；
（3）由g（x）＜0，对于x∈（0，+∞）恒成立，求得b的范围，再由h（x）的单调性，可得值域，即可得到结论．

解答 解：（1）若h（x₀）=$\frac{8}{3}$，即为${2}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{0}}}$=$\frac{8}{3}$，
即有（${2}^{{x}_{0}}$-3）（3•${2}^{{x}_{0}}$+1）=0，
可得${2}^{{x}_{0}}$=3，解得x₀=log₂3；
（2）h（x）=2^x-2^-x，h′（x）=2^xln2+2^-xln2＞0，
h（x）在[1，+∞）递增，h（x）_min=h（1）=$\frac{3}{2}$；
g（x）=（2-lnx）•lnx+b的导数为g′（x）=-$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2-lnx}{x}$=$\frac{2（1-lnx）}{x}$，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减，当1≤x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．
即有x=e取得极大值，也为最大值，且为g（e）=1+b，
由题意可得1+b≥$\frac{3}{2}$，
解得b≥$\frac{1}{2}$；
（3）若g（x）＜0，对于x∈（0，+∞）恒成立，
由（2）可得，1+b＜0，即有b＜-1；
假设存在实数x，使得h[g（x）]=-b成立，
即为2^g（x）-$\frac{1}{{2}^{g（x）}}$=-b恒成立．
由g（x）＜0，又f（x）递增，即有2^g（x）-$\frac{1}{{2}^{g（x）}}$的范围是（-∞，0），
而-b＞1，
则不存在实数x，使得h[g（x）]=-b成立．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查存在性问题的解法，考查运算能力，属于中档题．