Question

19．已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，是否存在实数k，使得不等式$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$＜k恒成立？如果存在，试求出k的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由题意可得（$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$）_max＜k，运用柯西不等式，可得最大值，即可得到k的范围．

解答 解：由柯西不等式可得
（1•$\sqrt{4a+1}$+1•$\sqrt{4b+1}$+1•$\sqrt{4c+1}$）²≤（1²+1²+1²）（4a+1+4b+1+4c+1）
=3×（4+3）=21．
当且仅当4a+1=4b+1=4c+1，即a=b=c=$\frac{1}{3}$时，取得等号．
即有$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$的最大值为$\sqrt{21}$．
故存在实数k，使得不等式$\sqrt{4a+1}$+$\sqrt{4b+1}$+$\sqrt{4c+1}$＜k恒成立．
则k的取值范围是（$\sqrt{21}$，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查柯西不等式的运用：求最值，属于中档题．