Question

10．已知函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）．
（1）点P为该函数图象上任意一点，求点P到直线：y=-x-1的距离的最小值；
（2）过点（$\sqrt{2}$，3）作直线l与该函数的图象交于A，B两个不同的点，且A，B关于直线y=-$\sqrt{2}$x+m对称，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设直线y=-x+m与函数f（x）的图象相切于点Q（x₀，y₀），（x₀＞0）．利用导数的几何意义可得Q坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出；
（2）由题意可设直线l的方程为：y-3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\sqrt{2}$），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点M（s，t）．与$y=x+\frac{2}{x}$联立化为$（\sqrt{2}-1）{x}^{2}$-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．

解答 解：（1）设直线y=-x+m与函数f（x）的图象相切于点Q（x₀，y₀），（x₀＞0）．
f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$，则f′（x₀）=1-$\frac{2}{{x}_{0}^{2}}$=-1，解得x=1．∴Q（1，3）．
则点Q到直线y=-x-1的距离d=$\frac{|1+3+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
即为点P到直线：y=-x-1的距离的最小值．
（2）由题意可设直线l的方程为：y-3=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\sqrt{2}$），即$x-\sqrt{2}y$+2$\sqrt{2}$=0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点M（s，t）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}y+2\sqrt{2}=0}\\{y=x+\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，化为$（\sqrt{2}-1）{x}^{2}$-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$=4+2$\sqrt{2}$，
∴s=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2+$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t+2$\sqrt{2}$=0，解得t=3+$\sqrt{2}$，
∴M（2+$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$），
代入直线y=-$\sqrt{2}$x+m，可得$3+\sqrt{2}$=-$\sqrt{2}$$（2+\sqrt{2}）$+m，解得m=5+3$\sqrt{2}$．
∴m=5+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数的几何研究函数的切线、直线与曲线相交问题、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了数形结合、推理能力与计算能力，属于难题．