Question

在空间四边形SABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2

3

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证AC⊥SB，取AC中点D，连接DS、DB．根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（2）欲求二面角N-CM-B的大小，可先作出二面角的平面角，结合SD⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM．可得∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．最后在Rt△NEF中求解即可得到答案．

解答：解：（1）取AC中点D，连接SD、DB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，
又∵SB?平面SDB，
∴AC⊥SB．
（2）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC．
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，
过E作EF⊥CM于F，连接NF，则NF⊥CM．
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角．
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，
∴SD⊥平面ABC．
又∵NE⊥平面ABC，
∴NE∥SD．
∵SN=NB，
∴NE=

1

2

SD=

1

2

SA2-AD2

=

1

2

12-4

=

2

，且ED=EB．
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=

1

4

MB=

1

2

，
在Rt△NEF中，tan∠NFE=

EN

EF

=2

2

，
∴二面角N-CM-B的大小是arctan2

2

．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及二面角的做法与求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力．