Question

6．已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f'（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）-2017^x]=2018，若函数g（x）=ax+$\frac{1}{2}{x^2}$+4lnx在定义域上与f（x）单调性相同，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-4，+∞）
• B． [-4，+∞）
• C． （-5，+∞）
• D． [-5，+∞）

Answer 1

分析 由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）-2017^x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，得到g（x）在（0，+∞）递增，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：若方程f'（x）=0无解，
则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，
?x∈R都有f[f（x）-2017^x]=2018，
则f（x）-2017^x为定值，
设t=f（x）-2017^x，则f（x）=t+2017^x，易知f（x）为R上的增函数，
则若函数g（x）在定义域上与f（x）单调性相同，
则g（x）=ax+$\frac{1}{2}{x^2}$+4lnx在（0，+∞）递增，
即g′（x）=a+x+$\frac{4}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax+4}{x}$≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≥-x-$\frac{4}{x}$在（0，+∞）恒成立，
而y=-x-$\frac{4}{x}$≤-4，
故a≥-4，
故选：B．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．