Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=1+

1

x-1

；
（1）求f（2）的值及当x＞0时y=f（x）的解析式；
（2）用定义法判断y=f（x）在区间（-∞，0]的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件，设x＞0，那么-x＜0，所以可求f（-x）=1+

1

-x-1

=f(x)．这样便可求f（2），x＞0时f（x）的解析式；
（2）首先确定x∈（-∞，0]时，f（x）=1+

1

x-1

，根据单调性的定义，设x₁＜x₂≤0，通过作差比较f（x₁），f（x₂）的大小，从而判断出f（x）在（-∞，0]的单调性．

解答： 解：（1）设x＞0，-x＜0，则：f（-x）=1+

1

-x-1

=f(x)；
∴x＞0时，f(x)=1-

1

x+1

；
f（2）=

2

3

；
（2）x∈（-∞，0]时，f（x）=1+

1

x-1

；
设x₁＜x₂≤0，则：
f(x1)-f(x2)=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

；
∵x₁＜x₂≤0；
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0；
f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0]上单调递减．

点评：考查偶函数的定义，已知x＜0时的解析式，根据f（x）的奇偶性求x＞0时解析式的求法，以及函数单调性的定义，根据单调性的定义判断函数的单调性．