Question

5．设f'（x）和g'（x）分别是函数f（x）和g（x）的导函数，若f'（x）•g'（x）≤0在区间I上恒成立，则称函数f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3ax与函数g（x）=x²+bx在开区间（a，b）（a＞0）上单调性相反，则b-a的最大值等于$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b-a的表达式，求出最大值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3ax，g（x）=x²+bx，
∴f′（x）=x²-3a，g′（x）=2x+b；
由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+b＞0恒成立，
∴x²-3a≤0恒成立，即-$\sqrt{3a}$≤x≤$\sqrt{3a}$；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤$\sqrt{3a}$，
即0＜a≤$\sqrt{3a}$，解得0＜a≤3；
∴b-a≤$\sqrt{3a}$-a=-（$\sqrt{a}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
当a=$\frac{3}{4}$时，取“=”，
∴b-a的最大值为$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题．