Question

14．已知函数f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线过（0，-1），求a的值；
（Ⅱ）求证：当a≤-1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将x=2代入原函数和导函数，求出切点坐标和切线斜率，得到切线的点斜式方程，将（0，-1）代入，可求a的值；
（Ⅱ）若证：当a≤-1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．只需证：（x-1）（e^x-1）-ax≥0在（0，+∞）恒成立，设g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞），利用导数法求其最值后，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）解由x-1≠0得：函数f（x）=e^x-1-$\frac{ax}{x-1}$的定义域为x∈（-∞，1）∪（1，+∞），
f（2）=e²-1-2a，$f'（x）={e^x}-\frac{{a（{x-1}）-ax}}{{{{（{x-1}）}^2}}}={e^x}+\frac{a}{{{{（{x-1}）}^2}}}$，
∴f'（2）=e²+a，
∴曲线y=f（x）在（2，f（2））处的切线y-（e²-1-2a）=（e²+a）（x-2）
将（0，-1）代入，得-1-（e²-1-2a）=-2e²-2a，
解得：$a=-\frac{{e}^{2}}{4}$
证明：（Ⅱ）$f（x）•lnx=（{{e^x}-1-\frac{ax}{x-1}}）•lnx$
若证：当a≤-1时，不等式f（x）•lnx≥0在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
只需证：$\frac{1}{x-1}•lnx•[{（{x-1}）（{{e^x}-1}）-ax}]≥0$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立，
∵x∈（0，1）∪（1，+∞）时，$\frac{1}{x-1}•lnx＞0$恒成立，
∴只需证：（x-1）（e^x-1）-ax≥0在（0，+∞）恒成立
设g（x）=（x-1）（e^x-1）-ax，x∈[0，+∞）
∵g（0）=0恒成立
∴只需证：g（x）≥0在[0，+∞）恒成立
∵g'（x）=x•e^x-1-a，
g''（x）=（x+1）•e^x＞0恒成立，
∴g'（x）单调递增，
∴g'（x）≥g'（0）=-1-a≥0
∴g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0
∴g（x）≥0在[0，+∞）恒成立
即$f（x）•lnx=\frac{1}{x-1}•lnx•g（x）≥0$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．

点评 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上过某点的切线方程，难度中档．