Question

19．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R），函数g（x）=ln（e^x-1）-lnx．
（1）求出f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=e^x-a；由导数的正负确定函数的单调性；
（2）当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；从而由导数确定恒成立问题．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，
令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增；
（2）令u（x）=e^x-x-1，则u′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）恒成立，
∴u（x）在（0，+∞）递增，u（x）＞u（0）=0，
故当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；
构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；
故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，
则H（x）＞H（0），
则?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
当a≤1时，由（1）知，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（0，lna）上单调递减，
帮当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），则不满足题意，
所以满足题意的a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．