Question

函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：
①c=0时，y=f（x）是奇函数；
②y=f（x）的图象关于点（0，c）中心对称；
③方程f（x）=0至多有两个实根；
④b=0，c＞0时方程f（x）=0只有一个实数根．
上述命题中所有正确的命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①利用奇函数的定义证明即可；②利用函数关于点中心对称的定义，可证明其为真命题，也可利用图象变换说明；③利用举反例的方法即可证明③错误；利用数形结合画出函数f（x）的图象即可判断④正确

解答：解：①c=0时，y=f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f（x），∴c=0时，y=f（x）是奇函数，①正确；
②∵f（-x）+f（x）=（-x|x|-bx+c）+（x|x|+bx+c）=2c，∴y=f（x）的图象关于点（0，c）中心对称；②正确；
③取b=-1，c=0，则f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故③错误；
④b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c=

x2+ c   x≥0 -x2+c    x＜ 0

，其图象如图
数形结合可得方程f（x）=0只有一个实数根．④正确
故答案为①②④

点评：本题主要考查了函数的奇偶性定义及其判断方法，函数中心对称的定义，函数的零点与方程的根间的关系，函数与方程的思想，数形结合的思想方法