Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量

AB

，

PB

，

BC

，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．

解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD，
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，

3

，0），P（0，0，1）．

AB

=（-1，

3

，0），

PB

=（0，

3

，-1），

BC

=（-1，0，0），
设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB =0 n • PB =0

即

-x+ 3 y=0 3 y-z=0

，
因此可取

n

=（

3

，1，

3

）
设平面PBC的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • cB =0 m • PB =0

，
即：

x=0 3 y-z=0

可取

m

=（0，1，

3

），cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

4

2 7

=-

2 7

7

，
故二面角A-PB-C的余弦值为：-

2 7

7

．

点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．