Question

9．已知实数0＜x₁＜x₂＜1，则下列不等式恒成立的是（　　）

• A． e^x₁-e^x₂＜lnx₁-lnx₂
• B． e^x₁-e^x₂＞lnx₁-lnx₂
• C． x₁e^x₂＜x₂e^x₁
• D． x₁e^x₂＞x₂e^x₁

Answer 1

分析 利用导数分别考查函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，函数g（x）=e^x-lnx在x∈（0，1上的单调性即可得出．

解答 解：考查函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$的单调性，x∈（0，1），f′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，
∵实数0＜x₁＜x₂＜1，∴$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$＞$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，即${x}_{1}{e}^{{x}_{2}}$＜${x}_{2}{e}^{{x}_{1}}$，因此C正确．
同理考查：函数g（x）=e^x-lnx在x∈（0，1）上存在极值，不具有单调性，因此A，B都不正确．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．