Question

18．在（$\frac{2}{x}$+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，各项系数之和为M，各二项式系数之和为N，且8M=27N，则展开式中的常数项为6．

Answer 1

分析 令x=1，则M=3ⁿ，又2ⁿ=N，8M=27N，解得n，再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：令x=1，则M=3ⁿ，又2ⁿ=N，8M=27N，
∴8×3ⁿ=27×2ⁿ，解得n=3．
∴（$\frac{2}{x}$+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{3}^{r}（\frac{2}{x}）^{3-r}（\sqrt{x}）^{r}$=2^3-r${∁}_{3}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-3}$，
令$\frac{3}{2}$r-3=0，解得r=2．
∴常数项为：$2×{∁}_{3}^{2}$=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．