Question

设函数f（x） 是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），已知当x∈[0，1]时，f（x）=3^x．则
①2是f（x）的周期；　　　　　　　　
②函数f（x）的最大值为1，最小值为0；
③函数f（x）在（2，3）上是增函数；    
④直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴．
其中所有正确命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用抽象表达式，将x替换为x+1，即可由周期定义判断①的正误；
②先求函数在x∈[0，1]时的值域，再利用对称性和周期性即可求出函数的值域；
③利用函数的周期性，函数在[0，1]和[2，3]上的单调性相同；
④由于函数为偶函数，故其对称轴为y轴，又因为函数的周期为2，故可得函数的对称轴方程

解答：解：①∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正确
②设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，f（-x）=3^-x=(

1

3

)x，
∵函数f（x） 是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）
∴x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=(

1

3

)x
∴x∈[0，1]时，1≤f（x）≤3，x∈[-1，0]时，1≤f（x）≤3，
∴在一个周期[-1，1]内，1≤f（x）≤3，
∴在定义域R上，1≤f（x）≤3，②错误
③∵x∈[0，1]时，f（x）=3^x为增函数，T=2
∴数f（x）在（2，3）上也是增函数，③正确
④∵函数f（x） 是定义在R上的偶函数，即对称轴为x=0，T=2
∴x=2k  （k∈Z）为函数的对称轴，
∴直线x=2是函数f（x）图象的一条对称轴，④正确
故答案为 ①③④

点评：本题综合考查了函数的周期性定义及其证明，利用函数的对称性和周期性判断函数的最值、单调性、对称轴的方法，转化化归的思想方法