【题目】如图,矩形中,
,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置.
(1)若,求三棱锥
体积的最大值;
(2)若,证明:平面
平面
;
【答案】(1) ; (2)证明见解析
【解析】
(1)过P作PO⊥BD于O,求出PO,当PO⊥平面ABD时,三棱锥P﹣ABD体积最大,由此能求出三棱锥P﹣ABD体积的最大值.
(2)推导出PD⊥PB,PA⊥PB,从而PB⊥平面PAD,推导出AD⊥平面PAB,由此能证明平面PAB⊥平面ABD.
(1)过P作PO⊥BD于O,则POBD=PBPD,
解得PO,
当PO⊥平面ABD时,三棱锥P﹣ABD体积最大,
∴三棱锥P﹣ABD体积的最大值为:
VP﹣ABD.
(2)在△PBD中,PD⊥PB,
又PA⊥PB,PA∩PB=P,
PA,PD平面PAD,
∴PB⊥平面PAD,
∵PB⊥AD,又AB⊥AD,AB∩PB=B,
∴AD⊥平面PAB,
又AD平面ABD,∴平面PAB⊥平面ABD.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为
(
为参数,
).
(1)当时,若曲线
上存在
两点关于点
成中心对称,求直线
的斜率;
(2)在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,极坐标方程为
的直线
与曲线
相交于
两点,若
,求实数
的值.
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【题目】等差数列和等比数列
中,
,
,
是
前
项和.
(1)若 ,求实数
的值;
(2)是否存在正整数,使得数列
的所有项都在数列
中?若存在,求出所有的
,若不存在,说明理由;
(3)是否存在正实数,使得数列
中至少有三项在数列
中,但
中的项不都在数列
中?若存在,求出一个可能的
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在
轴上,且抛物线上有一点
到焦点的距离为5.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点
作抛物线的两条弦
和
,且
,判断直线
是否过定点?并说明理由.
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【题目】已知点A(3,3),B(5,–1)到直线l的距离相等,且直线l过点P(0,1),则直线l的方程( )
A.y=1B.2x+y–1=0
C.2x+y–1=0或2x+y+1=0D.y=1或2x+y–1=0
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【题目】某学校有高中学生500人,其中男生320人,女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为173.5,方差为17,女生样本的均值为163.83,方差为30.03.
(1)根据以上信息,能够计算出总样本的均值和方差吗?为什么?
(2)如果已知男、女样本量按比例分配,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?
(3)如果已知男、女的样本量都是25,你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗?它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗?为什么?
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,求
.
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