Question

【题目】如图，矩形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置．

（1）若，求三棱锥体积的最大值；

（2）若，证明：平面平面；

Answer 1

【答案】(1) ； (2)证明见解析

【解析】

（1）过P作PO⊥BD于O，求出PO，当PO⊥平面ABD时，三棱锥P﹣ABD体积最大，由此能求出三棱锥P﹣ABD体积的最大值．

（2）推导出PD⊥PB，PA⊥PB，从而PB⊥平面PAD，推导出AD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面ABD．

（1）过P作PO⊥BD于O，则POBD＝PBPD，

解得PO，

当PO⊥平面ABD时，三棱锥P﹣ABD体积最大，

∴三棱锥P﹣ABD体积的最大值为：

VP﹣ABD．

（2）在△PBD中，PD⊥PB，

又PA⊥PB，PA∩PB＝P，

PA，PD平面PAD，

∴PB⊥平面PAD，

∵PB⊥AD，又AB⊥AD，AB∩PB＝B，

∴AD⊥平面PAB，

又AD平面ABD，∴平面PAB⊥平面ABD．