Question

已知(1+2

x

)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的

5

6

．
（1）求该展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

（1）第r+1项系数为C_n^r•2^r，第r项系数为C_n^r-1•2^r-1，第r+2项系数为C_n^r+1•2^r+1
依题意得到

C rn 2r=2• C r-1n 2r-1 C rn = 5 6 C r+1n •2r+1

，即

2r=n-1 5(n-r)=3(r-1)

，解得n=7，
所以二项式系数最大的项是第4项和第5项．
所以T4=

C

37

(2

x

)3=280x

5

2

，T5=

C

47

(2

x

)4=560x2．
（2）设第r+1项的系数最大，则

C rn 2r≥ C r-1n 2r-1 C rn ≥ C r+1n •2r+1

解得

13

3

≤r≤

16

3

又因为r∈N，所以r=5
∴展开式中系数最大的项为T6=

C

57

(2

x

)5=672•x

5

2