Question

20．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）．则使不等式f（x）≥$\frac{3}{2}$成立的x的取值集合为{x|kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

Answer 1

分析 根据平面向量的坐标运算与数量积运算，利用三角恒等变换化简f（x），求出不等式的解集即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），x∈R，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx，2cosx），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）
=sinx•（sinx+cosx）+2cos²x
=sin²x+sinxcosx+2cos²x
=sinxcosx+cos²x+1
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+1
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{3}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$；
令f（x）≥$\frac{3}{2}$，
得sin（2x+$\frac{π}{4}$）≥0，
∴2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
所求x的取值集合为{x|kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．
故答案为：{x|kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题考查平面向量的数量积与坐标运算问题，也考查三角函数的恒等变换以及正弦函数的图象和性质与运算问题，是基础题目．