Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，且过点（

2

，1）过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若线段AB的中点的横坐标为-

1

2

，求斜率k的值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由离心率为

6

3

和a、b、c的关系列出方程，把点（

2

，1）代入椭圆方程列出方程，联立后求出a²、b²，代入椭圆的方程即可；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出直线L的方程与椭圆方程联立，消去y后由韦达定理和条件求出k的值；
（Ⅲ）先假设存在点M符合题意，根据韦达定理和向量的数量积运算化简

MA

•

MB

+

5

3k2+1

，根据k无关求出m的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆离心率为

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，则

b2

a2

=

1

3

．
又∵椭圆过点（

2

，1），代入椭圆方程，得

2

a2

+

1

b2

=1．所以a2=5，b2=

5

3

．
∴椭圆方程为

x2

5

+

3y2

5

=1，即x²+3y²=5．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴直线方程为y=k（x+1），
由

x2+3y2=5 y=k(x+1)

得，（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．…（6分）
∵线段AB的中点的横坐标为-

1

2

，∴x1+x2=2×(-

1

2

)=-1，
即x1+x2=

-6k2

3k2+1

=-1，解得K=±

3

3

…（8分）
（Ⅲ）在x轴上存在点M(

1

6

，0)，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与K无关的常数．…（5分）
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数，
由（Ⅱ）得，x1+x2=

-6k2

3k2+1

，x1•x2=

3k2-5

3k2+1

…（9分）
∵

MA

=(x1-m，y1)，

MB

=(x2-m，y2)，
∴

MA

•

MB

+

5

3k2+1

=(x1-m)(x2-m)+y1y1+

5

3k2+1

…（7分）

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)+ 5 3k2+1 =(1+k2)x1x2+(k21-m)(x1+x2)+m2+k2+ 5 3k2+1 =(1+k2) 3k2-5 3k2+1 +(k2-m) -6k2 3k2+1 +m2+k2+ 5 3k2+1 = -k2+6mk2+3m2k2+m2 3k2+1

…（12分）
若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴m=

1

6

，
即在x轴上存在点M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与K无关的常数．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，韦达定理，向量数量积的运算，以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查化简、计算能力．