【题目】如图,已知的边
所在直线的方程为
,
满足
,点
在
边所在直线上且满足
.
(1)求边所在直线的方程;
(2)求外接圆的方程;
(3)若动圆过点
,且与
的外接圆外切,求动圆
的圆心的轨迹方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)由已知可得
为
,由
边所在直线的方程为
,可求直线
的斜率,点
在直线
上,利用直线的点斜式可求;(2)
与
的交点
,联立方程可求
的坐标,由
结合直角三角形的性质可得
的外接圆的圆心,进而可求
,外接圆的方程可求;(3)由题意可得
,即
,结合圆锥曲线的定义可求轨迹方程.
试题解析:(1),又
在
上,
,
为
,
又边所在直线的方程为
,所以直线
的斜率为
,又因为点
在直线上,所以
边所在直线的方程为:
,即
.
(2)与
的交点为
,所以由
解得点的坐标为
,
,
为
斜边上的中点,即为
外接圆的圆心,又
,
从而外接圆的方程为:
.
(3)因为动圆过点
,所以
是该圆的半径,又因为动圆
与圆
外切,
所以,即
.
故点的轨迹是以
,
为焦点,实轴长为
的双曲线的左支.
因为实半轴长,半焦距
.
所以虚半轴长.
从而动圆的圆心的轨迹方程为
.
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【题目】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与市场预测,知A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2.(注:所示图中的横坐标表示投资金额,单位:万元)
图1 图2
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润为多少万元?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
是过点
,倾斜角为
的直线,以直角坐标系
的原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求曲线的普通方程和曲线
的一个参数方程;
(2)曲线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关,某数学兴趣小组为了验证此结论,从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学(男生30人、女生20人),给每位同学立体几何题、代数题各一道,让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况统计如下表:(单位:人)
立体几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关?
(2)经统计得,选择做立体几何题的学生正答率为,且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍,现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】某地政府决定建造一批保障房供给社会,缓解贫困人口的住房问题,计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元.
注:每平方米平均综合费用=.
(1) 求k的值;
(2) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?
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【题目】某医药研究所开发的一种药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升中的含药量(微克)与时间
(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(当
时,
).
(1)写出第一次服药后与
之间的函数关系式
;
(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于微克时,治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效时间.
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【题目】已知曲线上的动点
满足到点
的距离比到直线
的距离小1.
(1)求曲线的方程;
(2)动点在直线
上,过点
分别作曲线
的切线
,切点为
.直线
是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
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