Question

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C₁．
（1）写出曲线C₁的方程；
（2）证明曲线C与C₁关于点A（

t

2

，

s

2

）对称；
（3）如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明s=

t3

4

-t且t≠0．

Answer 1

分析：（1）将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后，x变为x-t，y变为y-s，
（2）在曲线C上任取一点B₁（x₁，y₁），利用中点公式求出它关于点A的对称点B₂，证明点B₂在曲线C₁上，同样证明，
在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上．
（3）曲线C与C₁有且仅有一个公共点，即方程组有唯一解，对应的一元二次方程的判别式等于0，

解答：（1）解：曲线C₁的方程为 y=（x-t）³-（x-t）+s．
（2）证明：在曲线C上任取一点B₁（x₁，y₁）．设B₂（x₂，y₂）是B₁关于点A的对称点，
则有

x1+x2

2

=

t

2

，

y1+y2

2

=

s

2

，所以x₁=t-x₂，y₁=s-y₂．
代入曲线C的方程，得x₂和y₂满足方程：
s-y₂=（t-x₂）³-（t-x₂），即y₂=（x₂-t）³-（x₂-t）+s，可知点B₂（x₂，y₂）在曲线C₁上．
反过来，同样可以证明，在曲线C₁上的点关于点A的对称点在曲线C上．
因此，曲线C与C₁关于点A对称．
（3）证明：因为曲线C与C₁有且仅有一个公共点，所以，方程组

y=x3-x y=(x-t)3-(x-t)+s

有且仅有一组解．
消去y，整理得 3tx²-3t²x+（t³-t-s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．
所以t≠0并且其根的判别式△=9t⁴-12t（t³-t-s）=0，即

t≠0 t(t3-4t-4s)=0.

所以s=

t3

4

-t且t≠0．

点评：本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力．