Question

设曲线C的方程是y=x³－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C₁.

（1）写出曲线C₁的方程；

（2）证明：曲线C与C₁关于点A（，）对称.

Answer 1

⑴；⑵证明见解析.

解析:

（1）C₁：……………………………………①

（2）分析：要证明曲线C₁与C关于点A（，）对称，只需证明曲线C₁上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C₁上即可.

证明：设P₁（x₁，y₁）为曲线C₁上任意一点，它关于点A（，）的对称点为

P（t－x₁，s－y₁），把P点坐标代入曲线C的方程，左=s－y₁，右=（t－x₁）³－（t－x₁）.

由于P₁在曲线C₁上，∴y₁－s=（x₁－t）³－（x₁－t）.

∴s－y₁=（t－x₁）³－（t－x₁），即点P（t－x₁，s－y₁）在曲线C上.

同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C₁上.

从而证得曲线C与C₁关于点A（，）对称.