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设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后,得到曲线C1
(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明:曲线C与C1关于点A()对称.
【答案】分析:(1)将C沿x轴、正向平移t单位长度后,x变为x-t,将C沿y轴正向平移s单位长度后,y 变为y-s;
(2)要证明曲线C1与C关于点A()对称,只需证明曲线C1上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上,曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C1上即可.
解答:(1)解:根据题意,将C沿x轴、正向平移t单位长度后,x变为x-t,将C沿y轴正向平移s单位长度后,y 变为y-s;
则可得,C1:y-s=(s-t)3-(x-t).①
(2)证明:设P1(x1,y1)为曲线C1上任意一点,
它关于点A()的对称点为:P(t-x1,s-y1),
把P点坐标代入曲线C的方程,左=s-y1,右=(t-x13-(t-x1).
由于P1在曲线C1上,
∴y1-s=(x1-t)3-(x1-t).
∴s-y1=(t-x13-(t-x1
即点P(t-x1,s-y1)在曲线C上.
同理可证:曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C1上.
∴曲线C与C1关于点A()对称.
点评:注意:平移过程中坐标的变化规律,证明两曲线关于某点对称的方法.
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(1)写出曲线C1的方程;
(2)证明曲线C与C1关于点A(
t
2
s
2
)对称;
(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=
t3
4
-t且t≠0.

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t
2
s
2
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(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=-t且t≠0.

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