Question

设曲线C的方程是y=x³-x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C₁．
（1）写出曲线C₁的方程；
（2）证明：曲线C与C₁关于点A（

t

2

，

s

2

）对称．

Answer 1

分析：（1）将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s；
（2）要证明曲线C₁与C关于点A（

t

2

，

s

2

）对称，只需证明曲线C₁上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C₁上即可．

解答：（1）解：根据题意，将C沿x轴、正向平移t单位长度后，x变为x-t，将C沿y轴正向平移s单位长度后，y 变为y-s；
则可得，C₁：y-s=（s-t）³-（x-t）．①
（2）证明：设P₁（x₁，y₁）为曲线C₁上任意一点，
它关于点A（

t

2

，

s

2

）的对称点为：P（t-x₁，s-y₁），
把P点坐标代入曲线C的方程，左=s-y₁，右=（t-x₁）³-（t-x₁）．
由于P₁在曲线C₁上，
∴y₁-s=（x₁-t）³-（x₁-t）．
∴s-y₁=（t-x₁）³-（t-x₁）
即点P（t-x₁，s-y₁）在曲线C上．
同理可证：曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C₁上．
∴曲线C与C₁关于点A（

t

2

，

s

2

）对称．

点评：注意：平移过程中坐标的变化规律，证明两曲线关于某点对称的方法．