【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为
,焦距为2.(14分)
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)如图,该直线l:y=k1x﹣ 交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上的一点,直线OC的斜率为k2 , 且看k1k2=
,M是线段OC延长线上一点,且|MC|:|AB|=2:3,⊙M的半径为|MC|,OS,OT是⊙M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知, ,解得a=
,b=1.
∴椭圆E的方程为 ;
(Ⅱ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),
联立 ,得
.
由题意得△= >0.
,
.
∴|AB|= .
由题意可知圆M的半径r为
r= .
由题意设知, ,∴
.
因此直线OC的方程为 .
联立 ,得
.
因此,|OC|= .
由题意可知,sin =
.
而 =
.
令t= ,则t>1,
∈(0,1),
因此, =
≥1.
当且仅当 ,即t=2时等式成立,此时
.
∴ ,因此
.
∴∠SOT的最大值为 .
综上所述:∠SOT的最大值为 ,取得最大值时直线l的斜率为
.
【解析】(Ⅰ)由题意得关于a,b,c的方程组,求解方程组得a,b的值,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),联立直线方程与椭圆方程,利用根与系数的关系求得A,B的横坐标的和与积,由弦长公式求得|AB|,由题意可知圆M的半径r,则r= .由题意设知
.得到直线OC的方程,与椭圆方程联立,求得C点坐标,可得|OC|,由题意可知,sin
=
.转化为关于k1的函数,换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为
,取得最大值时直线l的斜率为
.
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的;椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
才能正确解答此题.
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【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调递增区间;
(2)对于,
为任意实数,关于
的方程
恰好有两个不等实根,求实数
的值;
(3)在(2)的条件下,若不等式在
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知公比小于1的等比数列{an}的前n项和为Sn , a1= ,且13a2=3S3(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3(1﹣Sn+1),若 +
+…+
=
,求n.
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【题目】已知双曲线 ﹣
=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为
.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.
=1
B.
=1
C.
=1
D.
=1
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【题目】为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.
男生 | |||||
女生 |
()从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为
的概率?
()若从阅读名著不少于
本的学生中任选
人,设选到的男学生人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望.
()试判断男学生阅读名著本数的方差
与女学生阅读名著本数的方程
的大小.
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【题目】已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(Ⅰ)证明:坐标原点O在圆M上;
(Ⅱ)设圆M过点P(4,﹣2),求直线l与圆M的方程.
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【题目】某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查,其中一项是他们的月薪收入情况,调查发现,他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间,根据统计数据分组,得到如下的频率分布直方图:
(1)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人,各赠送一份礼品,并从这6人中再抽取2人,各赠送某款智能手机1部,求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率;
(2)同一组数据用该区间的中点值作代表.
(i)求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差
;
(ii)该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人,决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用,有两种收费方案:
方案一:设,月薪落在区间
左侧的每人收取400元,月薪落在区间
内的每人收到600元,月薪落在区间
右侧的每人收取800元.
方案二:按每人一个月薪水的3%收取;用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算,哪一种收费方案能收到更多的费用?
参考数据:.
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【题目】某园林基地培育了一种新观赏植物,经过了一年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计,按
分组做出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在
的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的
(2)在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在
内的株数,求随机变量
的分布列及数学期望.
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