Question

20．已知函数f（x）=-x²+kx．
（1）若k=2，求函数f（x）在[0，3]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[0，3]上是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当k=2时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，从而求最值；
（2）由题意知函数f（x）=-x²+kx的对称轴x=$\frac{k}{2}$不在区间（0，3）内，从而解得．

解答 解：（1）当k=2时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∵x∈[0，3]，
∴由二次函数图象性质可知，当x=3时，f（x）取得最小值-3．
（2）∵函数f（x）=-x²+kx在区间[0，3]上是单调函数
∴函数f（x）=-x²+kx的对称轴x=$\frac{k}{2}$不在区间（0，3）内，
即  $\frac{k}{2}$≤0 或$\frac{k}{2}$≥3，
∴k≤0 或k≥6；
故k的取值范围为（-∞，0]∪[6，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用．