Question

14．在如图所示三棱锥D-ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC，且BE=2ED，BC=2BF．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面AEF将三棱锥D-ABC分成两部分的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明BC⊥AD；
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式分别求出两部分的几何体积，即可求平面AEF将三棱锥D-ABC分成两部分的体积之比．

解答 证明：（Ⅰ）∵AD=CD=2，∠BAC=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
取AC的中点O，连接OD，
则OD⊥AC，
∵平面ACD⊥平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，
则OD⊥BC，
∵AD=CD=2，∠BAC=45°，
∴AC=2$\sqrt{2}$，∵AB=4，∠BAC=45°，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
即△ACB是直角三角形，
则BC⊥AC，
∵OD∩AC=0，
∴BC⊥平面ACD，
∵AD?平面ACD，
∴BC⊥AD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得OD=$\sqrt{2}$，
过E作EH⊥平面ABC，
则$\frac{EH}{OD}$=$\frac{BE}{BD}$，
∵BE=2ED，∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
则$\frac{EH}{OD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{2}{3}$，
则EH=$\frac{2}{3}$OD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵BC=2BF．
∴F是BC的中点，则BF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
则△AEF的面积S=$\frac{1}{2}×$BF•AC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=2，
则大三棱锥D-ABC的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AC•BC•OD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
三棱锥E-ABF的体积V=$\frac{1}{3}×2×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
则另外一部分的体积V=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{12\sqrt{2}}{9}$-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{8\sqrt{2}}{9}$，
则平面AEF将三棱锥D-ABC分成两部分的体积之比为$\frac{8\sqrt{2}}{9}$：$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=2．

点评 本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及三棱锥体积的计算，考查学生的运算和推理能力．