Question

4．已知数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，则$\frac{a_n}{n}$的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n，再利用不等式的性质、数列的单调性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+3
=2×$\frac{（n-1）n}{2}$+3
=n²-n+3．
则$\frac{a_n}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+3}{n}$=n+$\frac{3}{n}$-1≥$2×\sqrt{n×\frac{3}{n}}$-1=2$\sqrt{3}$-1，等号不成立，当且仅当n=2时，$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值为$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．