Question

20．今有点A（-4，3）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）上，过点A的直线l与双曲线相切，且与双曲线两渐近线围成的三角形面积为2$\sqrt{3}$，则直线l的方程为（　　）

• A． x+y+1=0
• B． 2x+y+5=0
• C． 2x+3y+1=0
• D． x+3y-5=0

Answer 1

分析 对双曲线的方程两边对x求导，可得A点处切线的斜率和切线方程，联立渐近线方程，可得交点M，N的坐标，求得点O到切线的距离，以及两点MN的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，结合点A在双曲线上，可得ab=2$\sqrt{3}$，
解方程可得a，b，进而得到所求直线l的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，对x求导，可得
$\frac{2x}{{a}^{2}}$-$\frac{2yy′}{{b}^{2}}$=0，
点A的直线l的斜率为-$\frac{4{b}^{2}}{3{a}^{2}}$，
可得切线的方程为y=-$\frac{4{b}^{2}}{3{a}^{2}}$x-$\frac{{b}^{2}}{3}$，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
联立切线的方程可得，交点为M（-$\frac{{a}^{2}b}{3a+4b}$，-$\frac{a{b}^{2}}{3a+4b}$），N（$\frac{{a}^{2}b}{3a-4b}$，-$\frac{a{b}^{2}}{3a-4b}$），
可得|MN|=$\frac{2ab\sqrt{9{a}^{4}+16{b}^{4}}}{|9{a}^{2}-16{b}^{2}|}$，
点O到切线的距离为d=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{\sqrt{9{a}^{4}+16{b}^{4}}}$，
由题意可得围成三角形的面积为$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{\sqrt{9{a}^{4}+16{b}^{4}}}$•$\frac{2ab\sqrt{9{a}^{4}+16{b}^{4}}}{|9{a}^{2}-16{b}^{2}|}$=2$\sqrt{3}$，
即为$\frac{{a}^{3}{b}^{3}}{|9{a}^{2}-16{b}^{2}|}$=2$\sqrt{3}$，
由点A（-4，3）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，可得$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
即为9a²-16b²=-a²b²，
即有ab=2$\sqrt{3}$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
则直线l的方程为y=-x-1，
即为x+y+1=0．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的运用，直线与双曲线相切，联立直线方程求交点，以及点到直线的距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．