Question

16．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（$\frac{π}{12}$，-2），（$\frac{7π}{12}$，2），且在区间（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$），上为单调函数．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）设a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）（n∈N^*），求数列{a_n}的前30项和S₃₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题可得$\frac{ωπ}{12}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，$\frac{7ωπ}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），从而解得；
（Ⅱ）化简a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）=2nsin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）（n∈N^*），而数列{2sin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）}的周期为3；从而可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-$\sqrt{3}$，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）由题可得$\frac{ωπ}{12}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，$\frac{7ωπ}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z）；
解得ω=2，φ=2kπ-$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
∵|φ|＜π，∴φ=-$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）=2nsin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）（n∈N^*），
而数列{2sin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）}的周期为3；
前三项依次为2sin0=0，2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，2sin$\frac{4π}{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-$\sqrt{3}$，
∴S₃₀=（a₁+a₂+a₃）+…+（a₂₈+a₂₉+a₃₀）=-10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了数列与函数的综合应用，同时考查了三角函数的应用及整体思想的应用．