Question

2．已知正系数5次多项式f（x）满足以下两个条件．
（a）对任意x≠0，均有f（x）=x⁶f（$\frac{1}{x}$）；
（b）f（2）=10f（1），
则$\frac{f（3）}{f（2）}$的取值范围为（$\frac{9}{2}$，$\frac{29}{6}$）．

Answer 1

分析 设正系数5次多项式f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，则由两个条件求得f（x）=ax⁵+bx⁴+7ax³+bx²+ax，可得$\frac{f（3）}{f（2）}$=$\frac{18t+87}{4t+18}$=$\frac{9（2t+9）+6}{2•（2t+9）}$=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2t+9}$，再利用t＞0以及不等式的性质求得它的范围．

解答 解：设正系数5次多项式f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f，其中a、b、c、d、e、f＞0．
则由f（x）=x⁶f（$\frac{1}{x}$），可得 ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=x⁶•（a${（\frac{1}{x}）}^{5}$+b${（\frac{1}{x}）}^{4}$+c${（\frac{1}{x}）}^{3}$+d${（\frac{1}{x}）}^{2}$+e$\frac{1}{x}$+f）
=ax+bx²+cx³+dx⁴+ex⁵+fx⁶，
∴f=0，a=e，b=d，故 f（x）=ax⁵+bx⁴+cx³+bx²+ax．
再根据f（2）=10f（1），可得32a+16b+8c+4b+2a=10（a+b+c+b+a），
求得c=7a，故f（x）=ax⁵+bx⁴+7ax³+bx²+ax，
∵$\frac{f（3）}{f（2）}$=$\frac{435a+90b}{90a+20b}$=$\frac{435+90•\frac{b}{a}}{90+20•\frac{b}{a}}$=$\frac{87+18•\frac{b}{a}}{18+4•\frac{b}{a}}$，$\frac{b}{a}$＞0，设t=$\frac{b}{a}$＞0，
则$\frac{f（3）}{f（2）}$=$\frac{18t+87}{4t+18}$=$\frac{9（2t+9）+6}{2（2t+9）}$=$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2t+9}$∈（$\frac{9}{2}$，$\frac{29}{6}$）．

点评 本题主要考查二项式定理，函数与不等式的性质应用，转化是解题的关键和难点，属于难题．