Question

11．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，其中$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}$，$|{\overrightarrow b}|=2$，且$（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a$，则$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=2．

Answer 1

分析 利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角，从而求出$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$的值．

解答 解：设向量$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{a}$的夹角是α，则
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=2-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2-2$\sqrt{2}$cosα
∴cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${（|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|）}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=8+4-4×$\sqrt{2}$×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4
故$|{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$=2，
故答案为：2．

点评 本题考查向量的夹角的计算，考查向量数量积公式的运用，属于基础题．