Question

12．已知函数f（x）=cos²（$\frac{2015π}{3}$+x）-$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，AB=2，BC=3，f（B）=$\frac{1}{4}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式和两角和的正弦公式化简f（x），从而求出f（x）的值域即可；（2）先求出B，根据余弦公式求出AC的长即可．

解答 解：（1）f（x）=cos²（$\frac{2015π}{3}$+x）-$\sqrt{3}$sinxcosx
=cos²（$\frac{π}{3}$-x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1+cos（\frac{2π}{3}-2x）}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤f（x）≤1，
∴f（x）的值域是[0，1]；
（2）∵f（B）=$\frac{1}{4}$，即sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，B=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos$\frac{π}{3}$=4+9-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，
∴AC=$\sqrt{7}$，
由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{\sqrt{7}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{3}{sinA}$，
∴sinA=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换问题，考查二倍角公式、两角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理问题，是一道中档题．