Question

已知函数f(x)=lnx.

(Ⅰ)若F(x)=(a∈R)，求F(x)的极值；

(Ⅱ)讨论(Ⅰ)中函数F(x)在(0，e²]上的单调性；

(Ⅲ)若G(x)=[f(x)]²-kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围．

Answer 1

解：(1)F′(x)=

由F′(x)=0得,x=e^1-a，又F(x)的定义域为(0，+∞)，∴当x∈(0，e^1-a)时，F′(x)＞0，F(x)在(0，e^1-a)上单调递增；

当x∈(e^1-a，+∞)时，F′(x)＜0，F(x)在(e^1-a，+∞)上单调递减，

∴F(x)的极大值为F(e^1-a)=e^a-1.(5分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当e^1-a≥e²，即a≤-1时，

F′(x)≥0，此时F(x)在(0，e²)上单调递增；

当e^1-a＜e²，即a＞-1时，F(x)在(0,e^1-a)上为增函数，

在[e^1-a，e²]上为减函数.(9分)

(Ⅲ)G(x)=(lnx)²-kx，定义域为(0，+∞).

G′(x)=lnx-k＜0在(0，+∞)上恒成立.

记H(x)=lnx-k，则H′(x)=，由H′(x)=0得x=e.

∵当x∈(0，e)时，H′(x)＞0，则(x)为增函数；

当x∈(e，+∞)时，H′(x)＜0，H(x)为减函数.

∴x=e时，H(x)取最大值H(e)=-k.

为使G′(x)=H(x)＜0在(0，+∞)上恒成立，必须且只需-k＜0恒成立.  ∴k＞.

当k=时，只有一点x=e使得G′(x)=H(x)=0，不影响G(x)的单调性，∴k≥.