Question

14．如图所示，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．
（1）求证：AO，BO，CO两两垂直；
（2）求＜$\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AO}$＞．

Answer 1

分析 （1）分别设$\overrightarrow{VA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{VB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{VC}=\overrightarrow{c}$，正四面体的棱长为1，把向量$\overrightarrow{AO}、\overrightarrow{BO}、\overrightarrow{CO}$用$\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}$表示，然后利用数量积为0证得答案；
（2）由数量积求夹角公式求得＜$\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AO}$＞．

解答 （1）设$\overrightarrow{VA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{VB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{VC}=\overrightarrow{c}$，正四面体的棱长为1，
则$\overrightarrow{VD}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{a}）$，
$\overrightarrow{BO}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}）$，$\overrightarrow{CO}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}）$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BO}=\frac{1}{36}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{b}）$
=$\frac{1}{36}$（18$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-9|\overrightarrow{a}{|}^{2}$）
=$\frac{1}{36}$（18×1×1•cos60°-9）=0．
∴$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BO}$，∴AO⊥BO，
同理AO⊥CO，BO⊥CO，
∴AO、BO、CO两两垂直；
（2）$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DV}+\overrightarrow{VM}$=-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
=$\frac{1}{6}（-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$．
∴|$\overrightarrow{DM}$|=$\sqrt{[\frac{1}{6}（-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）]^{2}}=\frac{1}{2}$，
|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{[\frac{1}{6}（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）]^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$（$-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）•$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-5\overrightarrow{a}$）=$\frac{1}{4}$，
∴cos＜$\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AO}$＞=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵＜$\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AO}$＞∈（0，π），∴＜$\overrightarrow{DM}，\overrightarrow{AO}$＞=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查利用平面向量数量积证明线和线的垂直问题，考查了向量加法的三角形法则，训练了利用向量数量积求向量的夹角，是中档题．