Question

6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，其外接圆半径为R，若2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{3}$a-b）sinB，（$\frac{\sqrt{S}}{2R}$）²=sin²A-（sinB-sinC）²，a=4，则c=$\frac{17}{4}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得：${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt{3}ab$，结合余弦定理可得C．利用正弦定理及三角形面积公式化简可得2cosA=2-$\frac{1}{2}sinA$．两边平方化简解得sinA，利用正弦定理即可求值得解．

解答 解：∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
又∵2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{3}$a-b）sinB，
∴2R[（$\frac{a}{2R}$）²-（$\frac{c}{2R}$）²]=（$\sqrt{3}$a-b）$\frac{b}{2R}$，整理可得：${a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=\sqrt{3}ab$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由C∈（0，π），解得：C=$\frac{π}{6}$．
∵由（$\frac{\sqrt{S}}{2R}$）²=sin²A-（sinB-sinC）²，a=4，
∴可得：S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=$\frac{1}{2}bcsinA$，
∴${b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}=（2-\frac{1}{2}sinA）bc$，
可得2cosA=2-$\frac{1}{2}sinA$．两边平方化简解得sinA=$\frac{8}{17}$．
$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
可得c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{4×\frac{1}{2}}{\frac{8}{17}}$=$\frac{17}{4}$．
故答案为：$\frac{17}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．