Question

3．已知点F₁（-2，0），F₂（2，0），动点P满足|PF₂|-|PF₁|=2，当点P的纵坐标为3时，P到两定点F₁，F₂的距离之和|PF₁|+|PF₂|等于8．

Answer 1

分析 运用双曲线的定义，可得动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，求得a，b，c．得到双曲线的方程，再令y=3，解方程求得P的横坐标，再由两点的距离公式，计算即可得到答案．

解答 解：点F₁（-2，0），F₂（2，0），
则|F₁F₂|=4，
由动点P满足|PF₂|-|PF₁|=2＜4，
由双曲线的定义可得，动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，
且a=1，c=2，则b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，即有x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x＜0）．
令y=3，则x²=1+3=4，解得，x=-2，∴P（-2，3）．
则|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（-2+2）^{2}+（3-0）^{2}}+\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查双曲线的定义和方程，考查运算能力，属于基础题．