Question

【题目】

已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．

（Ⅰ）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，

记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）(－∞，－1－]（3）

【解析】试题分析：（1）求出，由可得结果；（2）对于任意恒成立等价于，利用导数研究函数的单调性，求得，从而可得结果；（3）分三种情况讨论：①当，②当，③当分别求出的最小值，再比较大小即可得结果.

试题解析：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，

所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f ′(0)＝6a，

所以6a＝3，所以a＝．

（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，

所以－(a＋1)≥．

令g(x)＝，x＞0，则g(x)＝．

令g(x)＝0，解得x＝．

当x∈(0，)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；

当x∈(，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．

所以g(x)max＝g()＝，

所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，

所以a的取值范围为(－∞，－1－]．

（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，

所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．

令f ′(x)＝0，则x＝1或a．

f(1)＝3a－1，f(2)＝4．

①当1＜a≤时，

当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；

当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．

又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．

因为h (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，

所以h(a)在(1，]上单调递减，

所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．

②当＜a＜2时，

当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；

当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．

又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．

因为h (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．

所以h(a)在(，2)上单调递增，

所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．

③当a≥2时，

当x∈(1，2)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，

所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，

所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，

所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．

综上，h(a)的最小值为．

【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.