【题目】设点是轴上的一个定点,其横坐标为(),已知当时,动圆过点且与直线相切,记动圆的圆心的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)当时,若直线与曲线相切于点(),且与以定点为圆心的动圆也相切,当动圆的面积最小时,证明: 、两点的横坐标之差为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由切线的性质知点到点的距离与到直线的距离相等,即点的轨迹为以点为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得方程;
(Ⅱ)设出直线方程为,与抛物线方程联立方程组,利用相切(判别式为0)可得斜率,点到此直线的距离就是圆的半径,变形为用基本不等式求出它的最小值,而最小值时恰好有,结论得证.
试题解析:
(Ⅰ)因为圆与直线相切,所以点到直线的距离等于圆的半径,
所以,点到点的距离与到直线的距离相等.
所以,点的轨迹为以点为焦点,直线为准线的抛物线,
所以圆心的轨迹方程,即曲线的方程为.
(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,
由得,
又,所以,
因为直线与曲线相切,所以,解得.
所以,直线的方程为.
动圆的半径即为点到直线的距离.
当动圆的面积最小时,即最小,而当时;
.
当且仅当,即时取等号,
所以当动圆的面积最小时, ,
即当动圆的面积最小时, 、两点的横坐标之差为定值.
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【题目】已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0时,有 >0.
(Ⅰ)证明f(x)在[﹣1,1]上是增函数;
(Ⅱ)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0
(Ⅲ)若f(x)≤t2﹣2at+1对x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】已知函数在单调递增,其中.
(1)求的值;
(2)若,当时,试比较与的大小关系(其中是的导函数),请写出详细的推理过程;
(3)当时, 恒成立,求的取值范围.
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【题目】已知f(x)= (ax﹣a﹣x)(a>0且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)当x∈[﹣1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两坐标系中取相同的单位长度,已知曲线的方程为,点.
(1)求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标;
(2)设为曲线上一动点,以为对角线的矩形的一边平行于极轴,求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,四边形为矩形, 为等腰三角形, ,平面平面,且, , 分别为的中点.
(1)证明: 平面;
(2)证明:平面平面;
(3)求四棱锥的体积.
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【题目】已知全集U=R,A={x|x≥3},B={x|x2﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1}
(1)求A∩B,A∪B;
(2)若A∩C=C,求实数a的取值范围.
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【题目】
已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为3,求a的值;
(Ⅱ)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若a>1,设函数f(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a),
记h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
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