【题目】已知f(x)= (ax﹣a﹣x)(a>0且a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)当x∈[﹣1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f(x)= ,
所以f(x)定义域为R,
又f(﹣x)= (a﹣x﹣ax)=﹣
(ax﹣a﹣x)=﹣f(x),
所以函数f(x)为奇函数
(2)解:任取x1<x2
则f(x2)﹣f(x1)= (ax2﹣ax1)(1+a﹣(x1+x2))
∵x1<x2,且a>0且a≠1,1+a﹣(x1+x2)>0
①当a>1时,a2﹣1>0,ax2﹣ax1>0,则有f(x2)﹣f(x1)>0,
②当0<a<1时,a2﹣1<0.,ax2﹣ax1<0,则有f(x2)﹣f(x1)>0,
所以f(x)为增函数
(3)解:当x∈[﹣1,1]时,f(x)≥b恒成立,
即b小于等于f(x)的最小值,
由(2)知当x=﹣1时,f(x)取得最小值,最小值为 (
)=﹣1,
∴b≤﹣1.
求b的取值范围(﹣∞,﹣1]
【解析】(1)由函数的解析式可求函数的定义域,先证奇偶性:代入可得f(﹣x)=﹣f(x),从而可得函数为奇函数;(2)再证单调性:利用定义任取x1<x2 , 利用作差比较f(x1)﹣f(x2)的正负,从而确当f(x1)与f(x2)的大小,进而判断函数的单调性;(3)对一切x∈[﹣1,1]恒成立,转化为b小于等于f(x)的最小值,利用(2)的结论求其最小值,从而建立不等关系解之即可.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+2x﹣2﹣a(a≤0),
(1)若a=﹣1,求函数的零点;
(2)若函数在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= +log2x.
(1)求f(2),f( ),f(4),f(
)的值,并计算f(2)+f(
),f(4)+f(
);
(2)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2016)+f( )+f(
)+…f(
)的值.
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【题目】(本小题满分12分)
某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学,对其日均课外阅读时间(单位:分钟)进行调查,结果如下:
t | ||||||
男同学人数 | 7 | 11 | 15 | 12 | 2 | 1 |
女同学人数 | 8 | 9 | 17 | 13 | 3 | 2 |
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.
(1)将频率视为概率,估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人?
(2)从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.
(i)求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率;
(ii)记抽取的“读书迷”中男生人数为,求
的分布列和数学期望
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【题目】设点是
轴上的一个定点,其横坐标为
(
),已知当
时,动圆
过点
且与直线
相切,记动圆
的圆心
的轨迹为
.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)当时,若直线
与曲线
相切于点
(
),且
与以定点
为圆心的动圆
也相切,当动圆
的面积最小时,证明:
、
两点的横坐标之差为定值.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
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【题目】已知函数对任意实数
恒有
,且当
时,
,又
.
(1)判断的奇偶性;
(2)求证: 是R上的减函数;
(3)求在区间[-3,3]上的值域;
(4)若x∈R,不等式恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设a>0,求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值;
(3)某同学发现:总存在正实数a、b(a<b),使ab=ba , 试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请直接写出a的取值范围(不需要解答过程).
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