Question

已知函数f（x）=e^x-ax+b，其中a，b∈R（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x+y-2=0平行，当函数f（x）有两个不同的零点时，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，b=0，在函数f（x）的图象上取两定点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），记直线AB的斜率为k．问：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使f'（x₀）＞k成立？若存在，求x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数f′（x），再对a进行分类讨论，分别求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由导数的几何意义先求出a的值，由（1）知求出单调区间，进而求出函数的最小值4-4ln4+b，根据函数的单调性和条件得：4-4ln4+b＜0，进而求出b的范围；
（Ⅲ）先假设存在，再根据斜率公式求出k，构造函数h(x)=f′(x)-k=ex-

ex2-ex1

x2-x1

，观察得此函数的导函数以及区间（x₁，x₂），无法判断其单调性，故直接表示出h（x₁）和h（x₂）并化简，根据结构特点再构造函数F（t）=e^t-t-1，再导数进而判断出单调性，再根据t的范围判断出h（x₁）＜0，h（x₂）＞0，再得c∈（x₁，x₂）使h（c）=0，求出c=ln

ex2-ex1

x2-x1

，再由h′（x）=e^x＞0，得x∈(ln

ex2-ex1

x2-x1

，x2)有f'（x₀）＞k．

解答：解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=e^x-a…（1分）
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；…（2分）
当a＞0时，由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，
则 x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
   x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；…（4分）
（Ⅱ）由f'（0）=e⁰-a=-3，得a=4…（6分）
由（1）知函数f（x）=e^x-4x+b在（-∞，ln4）上单调递减；（ln4，+∞）单调递增，
函数f（x）=e^x-4x+b在x=ln4处取极小值（即为最小值）4-4ln4+b…（8分）
且当x→-∞或x→+∞时，f（x）→+∞，
∴4-4ln4+b＜0，解得b＜4ln4-4，
故使函数f（x）有两个零点的b的取值范围b＜4ln4-4…（10分）
（Ⅲ）假设存在存在x₀∈（x₁，x₂）满足条件，
由题意知，k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

-1，
令h(x)=f′(x)-k=ex-

ex2-ex1

x2-x1

，
则 h(x1)=-

ex1

x2-x1

[e(x2-x1)-(x2-x1)-1]，h(x2)=

ex2

x2-x1

[e(x1-x2)-(x1-x2)-1]，
令F（t）=e^t-t-1，则F'（t）=e^t-1．
当t＜0时，F'（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F'（t）＞0，F（t）单调递增，
故当t=0，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0，
从而e(x2-x1)-(x2-x1)-1＞0，e(x1-x2)-(x1-x2)-1＞0，
又∵

ex1

x2-x1

＞0，

ex2

x2-x1

＞0
∴h（x₁）＜0，h（x₂）＞0．…（12分）
∴存在c∈（x₁，x₂）使h（c）=0
∵h′（x）=e^x＞0，h（x）是单调递增，
故这样的c是唯一的，且c=ln

ex2-ex1

x2-x1

…（14分）
故当且仅当x∈(ln

ex2-ex1

x2-x1

，x2)时，f'（x₀）＞k．
综上所述，存在x₀∈（x₁，x₂）使f'（x₀）＞k成立．
且x₀的取值范围为(ln

ex2-ex1

x2-x1

，x2)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的综合问题，导数与函数的单调性、函数的切线和函数的零点等等，其中根据条件进行构造函数和对问题进行正确转化是本题最难之处．