Question

已知函数f(x)=log

1

2

[ax2-(a-1)x-2]的值域为R，且f（x）在（2，5）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞0
• B、a≥0
• C、0≤a≤2
• D、-

  9

  2

  ≤a≤-4

Answer 1

分析：函数f(x)=log

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2

[ax2-(a-1)x-2]的值域为R等价于ax²-（a-1）x-2能取遍一切正实数，即△=a²-2a+1+8a≥0，解之a≤-3-2

2

或a≥-3+2

2

．再由f（x）在（2，5）上是减函数，根据复合函数的单调性可知

a-1 2a ≤2 4a-2(a-1)-2＞0 25a-5(a-1)-2＞0

，解得a＞0．取这两种情况的交集得实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=log

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[ax2-(a-1)x-2]的值域为R，∴ax²-（a-1）x-2能取遍一切正实数，∴△=a²-2a+1+8a≥0，解之a≤-3-2

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或a≥-3+2

2

．∵f（x）在（2，5）上是减函数，∴根据复合函数的单调性可知

a-1 2a ≤2 4a-2(a-1)-2＞0 25a-5(a-1)-2＞0

，解之a＞0．{a|a≤-3-2

2

或a≥-3+2

2

}∩{a|a＞0}={a|a≥-3+2

2

}，∴实数a的取值范围是[-3+2

2

，+∞)．故上述四个选项均不对．正确答案是：实数a的取值范围是[-3+2

2

，+∞)

点评：解这类问题一是要注意对数函数的值域为R时真数的取值范围是全体正实数，二是要注意复合函数的单调性：同增异减．