Question

在平面直角坐标系上，设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-n(x-3)

（n∈N^*）所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横，纵坐标均为整数的点）的个数为a_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表达式；（不必证明）
（2）设数列{a_n}的前n项和为{S_n}数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求使不等式T_n+a_n＞

k

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对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．
（3）设n∈N^*，f（n）=

an+2 (n为奇数) an+1 (n为偶数)

问是否存在m∈N^*，使f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：归纳推理,简单线性规划

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）分别求出n=1、2、3时的a₁，a₂，a₃的值，然后猜想a_n的表达式；
（2）由等差数列的前n项和求得S_n，再求出数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求出T_n+a_n并判断出其单调性后求出其最小值，由其最小值大于

k

17

求得k的值；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入f（n）=

an+2 (n为奇数) an+1 (n为偶数)

，分m为奇数和偶数代入f（m+15）=5f（m）求解m的值．

解答： 解：（1）当n=1时，D₁为Rt△OAB₁的内部包括斜边，
这时a₁=3．
当n=2时，D₂为Rt△OAB₂的内部包括斜边，
这时a₂=6．
当n=3时，D₃为Rt△OAB₃的内部包括斜边，
这时a₃=9．
…
由此可猜想a_n=3n；
（2）∵a_n=3n，
∴数列{a_n}是首项为3，公差为3的等差数列，
∴Sn=

n(3+3n)

2

=

3n(n+1)

2

．

1

Sn

=

2

3n(n+1)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)．
Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2

3

(1-

1

n+1

)．
∴Tn+an=

2

3

[1-

1

n+1

]+3n．
∴{T_n+a_n}单调递增．
则(Tn+an)min=T1+a1=

1

3

+3=

10

3

．
由Tn+an＞

k

17

对一切n∈N^*都成立得到

10

3

＞

k

17

，k＜

170

3

．
∴存在最大正整数k的值为56；
（3）f（n）=

an+2 (n为奇数) an+1 (n为偶数)

=

3n+2，n是奇数 3n+1，n是偶数

．
①当m为奇数时，m+15为偶数，
由f（m+15）=5f（m），得3（m+15）+1=5（3m+2），解得m=3．
②当m为偶数时，m+15为奇数，
由f（m+15）=5f（m），得3（m+15）+2=5（3m+1），解得m=

7

2

（舍）．
∴存在m=3使得f（m+15）=5f（m）成立．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了等差数列的通项公式，训练了数列不等式的解法，是压轴题．