Question

【题目】设数列的前项和为，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，可得， 两式相减、化简得，得出数列是以首项为，公比为 的等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解．

所以数列的通项公式．

（2）由（1）可得，求得，把不等式恒成立，转化为恒成立，令，求得数列的单调性和最大值，即可求解．

（1）由题意，令，解得，

由，可得，

两式相减得，化简得，即，

所以数列是以首项为，公比为的等比数列，

所以数列的通项公式．

（2）由（1）可得，数列的前n项和为，

又由不等式恒成立，整理得恒成立，

令，则，

当时，，所以，

当时，，所以，

又因为， ∴的最大值是，即，

所以实数的取值范围是．